תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות

Transcript

1 תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות. פתרו את המשוואות הבאות. לא מספיק למצוא פתרון אחד יש למצוא את כולם! sin ( π (א) = x sin (ב) = x cos (ג) = x tan (ד) = x) (ה) = tan x (ו) = 0 x sin (x) + sin (ז) 3 = x 4 cos (ח) cos x = cos (x) = cos x (יב) tan x = 0 (יא) cos x = (ט) = 0 x sin (י) tan x (יג) = 0 x cos (יד) x sin x = sin (טו) = cos x (טז) x) cos (π + x) = sin (π פתרונות x. = π 6 לפי מעגל היחידה, או לפי הזהויות הבסיסיות, קיים פתרון נוסף ב π, π 6 ולכל זה (א) הפתרון הראשי הוא יש להוסיף.πk מסקנה: משפחת הפתרונות היא π 6 + πk or 5π 6 + πk x. = π 3 לפי מעגל היחידה, או לפי הזהויות הבסיסיות, קיים פתרון נוסף ב, π 3 ולכל זה יש (ב) הפתרון הראשי הוא להוסיף.πk מסקנה: משפחת הפתרונות היא π 3 + πk or π 3 + πk tan x = cos x = = cos x (ג) דרך ראשונה מתקיים: π וב. 5π 4 מדובר בקפיצה של π בין שני 4 לפי מעגל היחידה, מתי? = cos x בדיוק בשני מקומות: ב. π 4 הפתרונות, ולכן הפתרון הכללי הוא + πk דרך שנייה הפונקציה tan x היא פונקציה מחזורית עם מחזור π, ובכל מחזור היא מונוטונית. לכן מספיק למצוא ( π 4 ולהוסיף,πk בשביל פתרון אחד ל = x tan (וכזה אפשר למצוא מטבלאות הפתרונות שיש לכם במחברת. π 4 לקבל את הפתרון הכללי: + πk

2 ( π ) sin x = cos x (ד) לפי זהות אלמנטרית: ולכן המשוואה יכולה להיתרגם ל cos x = = tan x = cos x (ה) נקבל: ואת זה כבר פתרנו. עכשיו נרצה לחלק ב x,sin אבל אולי = 0 x?sin לכן נפצל לשני מקרים: = 0 0 וזו משוואה נכונה, ולכן πk פותר את cos 0 מקרה א = 0 x.sin זה קורה כאשר x. = πk במקרה זה נקבל המשוואה. = cos x cos x = מקרה ב 0 x.sin נחלק בו ונקבל ולכן x = πk ולכן = 0 x sin בסתירה להנחתנו. לכן איננו מקבלים פתרונות נוספים במקרה זה. cos x + = 0 ( cos x + ) = 0 לסיכום נקבל שהפתרון הכללי הוא.πk (ו) לפי נוסחה לסינוס של זווית כפולה נקבל: לכן, או ש 0 = x sin או ש 0 = + x. cos אם = 0 x sin אז,x = πk ולכן πk פותר את המשוואה. אם = x.cos לפי מעגל היחידה או בעזרת זהויות אלמנטריות נקבל cos x = π 3 + πk or cos x = π 3 + πk = 0 + x cos אז לכן הפתרון הכללי הוא πk או + πk חשוב. (ז) פותרים לפי סינוס של זווית כפולה. π 3 או. π 3 + πk אפשר לרשום את זה קצת יותר קצר, אבל זה לא

3 (ח) שאלה זו הייתה אמורה להיות כוכבית. אתן רמז למעוניינים לנסות ולפתור אותה במקום לחשוב על סינוס של חצי זווית, אפשר לחשוב על קוסינוס של זווית כפולה (לדמיין שהמשתנה שלנו הוא בעצם, x ולא.(x נקבל: cos x sin x = כעל y, ולקבל עתה אפשר להשתמש במשפט פיתגורס כדי שיופיעו רק סינוסים, ואז אפשר לחשוב על משוואה ריבועית בעלת שני שורשים. מכאן אפשר להמשיך ולפתור ולקבל מספר משפחות פתרונות. (ט) מתקיים = x,sin ולכן = ± x sin (לא לשכוח את המינוס!). כלומר, = x sin או = x.sin פותרים כל (י) נקבל: אחד מאלה בנפרד, ועושים או. cos x = tan x cos x = cos x כמו בסעיף ה, נרצה לחלק ב x,cos אך אולי הוא אפס? נפתור זאת בדרך מעט שונה: נעביר אגפים ונוציא את ( cos x ) = 0 cos x כגורם משותף: x = π (למשל, לפי מעגל היחידה). במקרה. במקרה הראשון נקבל + πk ולכן = 0 x cos או = 0 השני נקבל = =.x = π + πk נעשה או בין הפתרונות ונקבל.x = π ולכן + πk (יא) נקבל = x tan ולכן = ± x tan (לא לשכוח את המינוס!). כלומר, = x tan או = x.tan את המשוואה הראשונה פתרתם בסעיף ג. את המשוואה השנייה פותרים באופן דומה, ובסוף עושים או בין הפתרונות. (יב) לפי נוסחה לסינוס זווית כפולה נקבל (x).cos (x) = sin חושבים על ה x כמשתנה, ולפי התרגיל = x cos (ראו בסעיף ג ) נקבל x = π 4 + πk ולכן x = π 8 + π k (יג) בדומה לסעיף ט. 3

4 (יד) שימו לב לפתרון מעט מחוכם: נעביר אגפים ונקבל sin x + = 0 עתה, צורה זו מזכירה + a a. נראה מוכר? כפל מקוצר! נקבל: ( ) = 0.x = π ולכן = 0 x,sin כלומר = x,sin והתשובה תהיה + πk x + x ונקבל: (טו) נחשוב על x כעל cos x = cos x cos x ( ) = 0 נעביר אגפים ונוציא גורם משותף ונקבל:,cos x או ש 0 =. במקרה הראשון נקבל: x = π + πk x = π + πk ולכן או ש 0 = במקרה השני נקבל: = = ולפי סעיף א נקבל: x = π 6 + πk or x כלומר = 5π 6 + πk x = π 3 + 4πk or x = 5π 3 + 4πk נוסיף את π + πk ונקבל את כל הפתרונות. (טז) נזכר כי cos (π + x) = cos x וכי sin (π x) = ונקבל cos x = כלומר = x,tan ואת זה פתרתם בסעיף י א. 4

5 ( tan x + π ) (ד) 4. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות: + (ג) sin x (א) x 3 (ב) cos x פתרונות (א) R. (ב) הפונקציה מוגדרת כאשר x,cos כלומר כאשר.x πk (ג) בפונקציה זו שווה לרשום cos x במקום sin x. נקבל שתחום ההגדרה הוא כל ה x ים עבורם > 0 x,cos cot (x + π) =.x π כלומר 0 x,cos כלומר + πk.x π 4 + πk נעביר אגפים ונקבל.x + π 4 π (ד) פונקציה זו מוגדרת כאשר + πk.cot (x) = cos x 3. נגדיר פונקציה חדשה, (א) מהו תחום ההגדרה של (x)?cot פתרון הפונקציה מוגדרת כאשר 0 x,sin כלומר כאשר.x πk cos (x + π) sin (x + π) = cos x = cos x = cot x (ב) הוכיחו כי cot x הנה מחזורית עם מחזור π. פתרון מתקיים ולכן הפונקציה cot x מחזורית עם מחזור π..4 הוכיחו כי הפונקציה הבאה חסומה: (x) f (x) = sin היא חסומה מלמעלה על ידי 7 ומלמטה על ידי. מדוע?.5 מהי התמונה של הפונקציה ) (x?3 sin נשים לב כי x יכול להיות כל מספר, ולכן ( x) sin יכול לקבל כל ערך בין ל. לכן ( x) 3 sin יכול לקבל כל ערך בין 3 ל 3. כלומר: התמונה היא [3,3 ]..6 מצאו את התמונה של הפונקציה. + cos x אין לנו (עדיין!) דרך פורמלית טובה לפתור את התרגיל הנ ל, אך התבוננות מעמיקה במעגל היחידה מגלה לנו.x = π 4 ערך הפונקציה שהמקסימום של הפונקציה הזו יתקבל כאשר = cos x ושניהם חיוביים. כלומר, כאשר בנקודה הזו יהיה בדיוק. באופן דומה, המינימום של הפונקציה יתקבל כאשר = cos x ושניהם שליליים..x = 5π 4 ערך הפונקציה בנקודה זו יהיה בדיוק. התמונה תהיה, לכן, ], [. כלומר, כאשר 5

6 7. עבור כל אחת מבין הפונקציות הבאות, החליטו האם היא זוגית או לא, והאם היא אי זוגית או לא: (א) x) sin (sin (ב) x) cos (sin (ג) x) cos (cos (ד) x) sin (cos (ה) x פתרונות כל התרגילים בסעיף זה נפתרים באותו האופן. נפתור לדוגמה שלושה סעיפים. (ב) מתקיים cos (sin ( x)) = cos ( ) = cos () ולכן הפונקציה הזו זוגית. (ד) מתקיים sin (cos ( x)) = sin (cos x) ולכן הפונקציה הזו זוגית. (ה) מתקיים ( x) sin ( x) = ( x) ( ) = x ולכן הפונקציה הזו זוגית. 8. נסו לפתח את הזהויות הטריגונומטריות עבור סינוס של הפרש זוויות, עבור סינוס של חצי זווית, ועבור סינוס של זווית משולשת. כלומר, הוכיחו כי sin (x y) = cos y cos x sin y ( x ) cos x sin = (for x [0, π]) sin (3x) = 3 4 sin 3 x.cos ( x בזהות השלישית ) הזהות הראשונה קלילה. הזהות השנייה מפותחת באופן דומה מאד למה שעשינו בכיתה עם אפשר לחשוב על (3x) sin כעל (x ) + ולהשתמש מספר פעמים בנוסחאות לגבי סכום זוויות ובמשפט פיתגורס. sin (3x) = sin (x + x) = cos (x) + sin (x) cos x = ( cos x sin x ) + cos x = ( sin x ) + ( sin x ) = sin 3 x + sin 3 x = 3 4 sin 3 x נעשה זאת: 6

7 .9 נגדיר ) + (x.f (x) = sin (א) כמה נקודות חיתוך יש לגרף של f עם ציר ה x? תשובה מכיוון שהסינוס לא מקבל ערך קטן מ, הפונקציה אינה נחתכת עם ציר ה x לעולם. (ב) כמה נקודות חיתוך יש לגרף של f עם ציר ה y? תשובה אחת בדיוק! זו שעבורה = 0 x. (ג) מהו תחום ההגדרה של f? תשובה R. (ד) מהי התמונה של f? תשובה פתרנו שאלה כזו ממש בתרגיל זה: [.,0.] =.Imf (ה) האם f מחזורית? תשובה כן, יש לה מחזור π. נוכיח: f (x + π) = sin (x + π + 0.9) +. = sin ((x + 0.9) + π) +. = sin (x + 0.9) +. = f (x) (ו) האם f זוגית? האם היא אי זוגית? תשובה לא ולא. ניסיונות להוכיח זאת הסתיימו בכישלון, ולכן חיפשתי דוגמה נגדית פשוטה ככל האפשר: f ( 0.9) = sin ( ) +. = sin 0 +. =. f (0.9) = sin ( ) +. >. ולכן היא אינה זוגית ואינה אי זוגית. (ז) האם f מונוטונית? תשובה לא. ראינו שפונקציה מחזורית שאינה קבועה אינה מונוטונית. (ח) האם f חד חד ערכית? תשובה לא. פונקציה מחזורית לעולם אינה חד חד ערכית. 7

8 0. נסו לצייר סקיצה (כללית מאד) של הפונקציה cot x שהוגדרה קודם לכן. להלן: y cot x 3π π π π π 3π x 8